Jumat, 20 Oktober 2017

Ringkasan Materi

Program Linear merupakan bagian dari matematika terapan (operational research) dengan model matematika yang terdiri atas persamaan-persamaan atau pertidaksamaan-pertidaksamaan linier, yang memuat pembuatan program untuk memecahkan berbagai permasalahan sehari-hari.
  
Permasalahan Program Linear adalah suatu permasalahan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel yang mengoptimumkan nilai fungsi objektif dengan memperhatikan pembatasan yang ada, yaitu yang dinyatakan dalam bentuk persamaan-persamaan atau pertidaksamaan linier. Suatu permasalahan dikatakan permasalahan program linier, jika memenuhi ketentuan berikut :

-                Tujuan permasalahan yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linear ax + by = z. Fungsi linier dikenal sebagai fungsi tujuan (fungsi objektif). 
-                Harus memiliki alternatif pemecahan yang membuat nilai fungsi tujuan menjadi optimum, misalnya: keuntungan maksimum, pengeluaran yang minimum, dan lain lain. 
-                Sumber-sumber yang tersedia dalam jumlah yang terbatas, seperti modal terbatas, bahan mentah terbatas, dan sebagainya. Pembatasan- pembatasan dari sumber yang tersedia harus dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linier. 

a. Menentukan DHP ( Daerah Himpunan Penyelesaian)
Contoh :
    4x + 3y ≤ 12
    2y – x ≤ 2

x = 0 ---- (0,4)   y = 0 ---- (3,0)
x = 0 ---- (0,1)   y = 0 ---- (-2,0)
 ( karena tanda nya sama-sama kurang dari atau ≤  jadi arsirnya ke bawah)
 

b.  Metode Uji Titik Pojok
        Langkah- langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif menggunakan metode uji titik pojok seperti berikut.
1.      Gambarkan DHP dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
2.      Tentukan koordinat titik- titik pojok daerah penyelesaian tersebut.
3.      Tentukan nilai fungsi objektif f(xy)= ax+by untuk setiap titik pojok (x,y) tersebut. Jika memaksimumkan fungsi objektif, pilih nilai f(x,y) terbesar. Jika meminimumkan fungsi objektif, pilih nilai (x,y) terkecil. 
 c. Nilai Optimum Fungsi Objektif 
            Model matematika yang terdiri atas beberapa pertidaksamaan linear mempunyai banyak permasalahan. Dari semua penyelesaian itu, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik. Fungsi objektif merupakan fungsi yang menjelaskan tujuan berdasarkan batasan-batasan yang ada. Fungsi objektif umumnya dinyatakan dengan f(x,y)=ax+by.
 

Contoh Soal



x  + y ≥ 6
x + 5y ≥ 10
x ≥ 0   y ≥ 0
1.      Tentukan nilai minimum Z dimana Z = 10x + 5y dengan kendala sistem pertidaksamaan linear diatas !
Jawaban :  
x + y = 6 (1)----- (0,6),(6,0)
x + 5y = 10 (2) ----- (0,2),(10,0)
Eliminasi dari persamaan (1) dan (2)
x + y      = 6
x + 5y    = 10 
-4y       = -4
y          = 1
Substitusikan y = 1 ke dalam persamaan (1)
x + y    = 6
x + 1    = 6
x = 5
Diperoleh titik potong (5,1)
Nilai f(x,y) = 10x + 5y
f (0,6)  = 10. 0 + 5.6    = 30 ------ minimum
f (10,0)            = 10.10+5.0     = 100
f (5,1)  = 10.5 + 5.1     = 55
Jadi, Z minimum yang diperoleh adalah 30
(arsiran merah menandakan DHP)


2.   Seorang pedagang kue menjual 2 jenis kue, yaitu kue donat dan kue cucur. Untuk membuat 1 buah kue donat diperlukan 40 gr terigu dan 80 gr gula pasir. Untuk membuat 1 kue cucur diperlukan 60 gr terigu dan 40 gr gula. Terigu yang dimiliki pedangang sebanyak 2,4 kg dan gula sebanyak 3,2 kg. Jika keuntungan 1 donat Rp.800 dan 1 cucur Rp.500. Tentukan:
a.       Keuntungan maksimal        b. Jumlah kue yang dibuat
Jawaban:
x = jumlah kue donat
y = jumlah kue cucur

Donat
Cucur
Persedian
Terigu
40
60
2400
Gula
80
40
3200
Keuntungan
800
500

f(x,y) = 800x + 500y
f kendala =
40x + 60y ≤ 2400... (1) --- (0,40),(60,0)
80x + 40y ≤ 3200... (2) --- (0,80),(40,0)
x ≥ 0    y ≥ 0
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
40x + 60y = 2400 (x2)
80x + 40y = 3200
80x + 120y = 4800
80x + 40y = 3200
     80y = 1600
     y      = 20
Substitusikan y =20 ke dalam persamaan (1)
40x + 60y = 2400
40x + 1200= 2400
     40x  = 2400-1200
     40x = 1200
     x      = 1200 / 40
     x      = 30
Diperoleh titik potong (30,20)
f(x,y) = 800x + 500y
f(40,0)  = 800.40 + 500.0 = 32000
f(0,40) = 800.0 + 500. 40 = 20000
f(0,0) = 800.0 + 500.0 = 0
f(30,20) = 800.30 + 500.20 =  34000
Jadi keuntungan maksimum penjualan adalah Rp. 34000 dan jumlah
kue yang dibuat adalah 30 biji kue donat dan 20 biji kue cucur.
( lingkaran kuning menandakan titik pojok yang dilewati oleh DHP)